Formato de Planeación (Infografía)

Infografía de Ruta más corta

Flujo a costo mínimo

1.- Cada año, Data Corporal produce unas 400 computadoras en Boston y 300 en Raleigh. Los clientes de Los Ángeles deben recibir 400 computadoras y a los clientes de Austin se les debe suministrar 300 computadoras. Producir una computadora cuesta $800 en Boston y $900 en Raleigh. Las computadoras se transportan en avión y se podrían enviar por Chicago. Los costos de enviar una computadora entre pares de ciudades se muestran en la tabla siguiente:

De	A ($)
	Chicago	Austin	Los Ángeles
Boston	80	220	280
Raleigh	100	140	170
Chicago	——–	40	50

Formule un modelo (red) de flujo a costo mínimo que se pueda usar para minimizar el costo total (producción + distribución) de satisfacer la demanda anual de Data Corporal. Plantear red.

¿Cómo modificaría la formulación del inciso (a) si a lo sumo se pudiera enviar 200 unidades vía Chicago? [Sugerencia: agregue un nodo y un arco a la red del inciso (a).] Plantear red.

Ruta más Corta de Problemas No Clásicos

1.-Se tiene una red de comunicaciones entre dos estaciones 1 y 7. Las probabilidades de que un enlace de la red funcione sin fallar se muestran en la siguiente tabla. Los mensajes se mandan de la estación 1 a la estación 7 y el objetivo es determinar la ruta que maximice la probabilidad de una buena transmisión.



Aplicando el Método de Dijkstra se tiene lo siguiente:Plantear la red y resolver como un problema de ruta más corta.

LA PROBABILIDAD QUE MAXIMIZA UNA BUENA TRANSMISIÓN ES DE .52326

Ruta más corta

2).- Encuentre la trayectoria más corta del nodo 1 al nodo 6.

Utilizando el método de dijkstra:



Se tendrá un costo mínimo de 31.

Distribución beta

La distribución beta se utiliza para variables aleatorias entre 0 y 1.

La distribución beta suele utilizarse para modelar la distribución de estadísticos de orden (por ejemplo, el estadístico de orden késimo de una muestra de variables n uniformes (0, 1) tiene una distribución beta (k, n + 1 – k)) y para modelar eventos que se definen por valos mínimos y máximos. La escala de la distribución beta suele modificarse para modelar el tiempo hasta la culminación de una tarea. La distribución beta también se usa en estadísticas bayesianas, por ejemplo, como la distribución de valores previos de una probabilidad binomial.

DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA

La distribución beta generalizada nació de manera natural para dar mayor flexibilidad al soporte acotado, donde su función de densidad es definida como:




Donde, del mismo modo que en el modelo estándar, los parámetros u y v son positivos. La distribución Beta estándar es ahora una situación particular de la distribución Beta Generalizada, cuando (a,b)=(0,1).

Si X es una variable aleatoria con distribución Beta Generalizada, entonces la notación será: X~BG(ab)(u,v) o equivalentemente X~BG(u,v,a,b)

CARACTERÍSTICAS DEL MODELO

Para facilitar la operabilidad del modelo, consideraremos que el parámetro b será escrito por b=a+h, de ese modo la densidad queda representada por:




Los elementos siguientes son los que generalmente son presentados para el análisis y comparar evasiones.

Esperanza




Segundo Momento




Varianza




En el proceso de estimación presentaremos dos de los más relevantes; el primero es el de máxima verosimilitud y el segundo es el de momentos.

En este proceso asumiremos que el parámetro h o amplitud del intervalo de los posibles valores de X es conocido.

Para el caso del estimador de máxima verosimilitud, basta resolver el sistema siguiente:




Las estimativas por medio del método de momentos, que representaremos por y respectivamente son:




FUNCIÓN DE SOBREVIVENCIA PARA UNA VARIABLE ALEATORIA BETA GENERALIZADA

La función de sobrevivencia es una de las principales funciones probabilísticas usadas para describir estudios de sobrevivencia (ver Lee 2003). La función de sobrevivencia es definida como la probabilidad de que una observación no falle hasta un cierto tiempo t, es decir, la probabilidad de que una observación sobreviva hasta el tiempo t. En términos probabilísticos, esto es escrito como S(t) = P(T > t). Por tanto, basado en esta definición, la función de sobrevivencia puede ser determinada por

S(t) = 1 - P(T < t) = 1 - F(t), donde F(t) representa la función de distribución de probabilidades de la variable aleatoria T.

En el Gráfico de la Figura 2, es posible observar la flexibilidad de la función de sobrevivencia de la variable aleatoria beta generalizada, con crecimientos fuertes en el inicio del proceso, para posteriormente estabilizarse casi en un decaimiento lineal, como es posible observar en la curva de color amarillo. De forma similar, podemos obtener funciones de sobrevivencia en la cual el decrecimiento de la curva sea significativo después del 50% de las fallas o muertes, como se muestra en la curva de color negro, y las curvas restantes son una muestra de la flexibilidad y la amplia gama de situaciones con soporte acotado posibles de modelar.

                            
Figura 2. En el gráfico consideramos los valores 2, 2, 1, 5 y 0.5 para los parámetros α, 2, 5, 3, 1 y 1 para el parámetro βrepresentados de color verde, rojo, azul, preto y amarillo respectivamente y h=3


FUNCIÓN DE RIESGO PARA UNA VARIABLE ALEATORIA BETA GENERALIZADA

La función de Riesgo también es conocida como función de tasa de falla. Para su definición vamos asumir que la probabilidad de que la falla ocurra en el intervalo [t1,t2[ puede ser expresada en términos de la función de sobrevivencia como: S(t1)-S(t2) (ver Lee 2003). La tasa de falla en el intervalo [t1,t2[ es definida como la probabilidad de que la falla ocurra en este intervalo, dado que no ocurrió antes de t1, dividido por la amplitud del intervalo. Así, la tasa de falla en el intervalo [t1,t2[ es expresada por : ((S(t1)-S(t2))/((t2-t1) S(t1))). De forma general la función de riesgo, λ(t), es definida como: λ(t)=(f(t))/(S(t)).

En el gráfico de la siguiente figura, es posible observar la flexibilidad de la función de riesgo de una variable aleatoria Beta Generalizada, con incrementos en diferentes velocidades. Una situación muy importante de destacar es la modelación de un riesgo que en el tiempo cero tiene un riesgo diferente de cero.

                             
En el Gráfico consideraremos los valores 2, 2 y 1 para el parámetro α, 2, 5 y 4 para el parámetro β representados de color verde, amarillo y azul respectivamente y h=3


GRÁFICAS

La distribución beta es una distribución continua definida por dos parámetros de forma. La distribución puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores de los dos parámetros.

Ambas formas son iguales a 1
Cuando ambas formas son iguales a 1, la distribución beta es la distribución uniforme.


Ambas formas son menores que 1
Cuando ambas formas son menores que 1, la distribución tiene forma de U.


Ambas formas son iguales y son mayores que 1
Cuando ambas formas son iguales y mayores que 1, la distribución es simétrica.


La primera forma es mayor que la segunda forma
Cuando la primera forma es mayor que la segunda forma, la distribución es asimétrica hacia la izquierda
.


La primera forma es menor que la segunda forma
Cuando la primera forma es menor que la segunda forma, la distribución es asimétrica hacia la derecha
.

José González C., Diana Galvis S. y Luis Hurtado T.,La distribución Beta Generalizada como un modelo de sobrevivencia para analizar la evasión universitaria., 2014, Chile,Recuperado el 20 de Abril del 2019 de: https://scielo.conicyt.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07052014000100008

Minitab 18. (2019). Distribución beta. 2017, de minitab Sitio web, Recuperado el 20 de Abril del 2019 de: https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/beta-distribution/

[Imagen Gráficas] recuperada el 20 de Abril del 2019 de: Minitab 18. Distribución beta , de minitab Sitio web: https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/beta-distribution/

Robert W. Floyd

                                           

Nació el 8 de Junio de 1936 en New York fue un prominente científici estadounidense en informatica.
Floyd culminó el bachillerato a los 14 años y de la universidad se graduo a los 17 y como físico a los 22.
En los años 60's publicó sus primeros artículos los cuales fueron de gran influencia y fue nombrado profesor asociado en la Universidad de Carnegie Mellon. Seis años más tarde fue nombrado profesor en la Universidad de Stanford.
Sus principales contribuciones fueron:

* Algoritmo de Floyd- Warshall
* El diseño y análisis de algoritmos eficientes para encontrar el camino más corto en un grafo y para el problema de reconocimiento de frases.
* Pero su logro mas importante fue ser pionero en el campo de la verificación de programas con afirmaciones lógicas con su artículo "Assigning Meanings to Programs".
Floyd trabajó en estrecha colaboración con Donald Knuth, en particular, como el usuario principal para el libro seminal de Knuth The Art of Computer Programming, y es la persona más citada en este trabajo. Él fue el co-autor, junto con Richard Beigel, del libro de texto El lenguaje de las máquinas: una Introducción a la Computabilidad y lenguajes formales (1994, WH Freeman and Company. ISBN 978-0716782667).
Floyd recibió el Premio Turing de la ACM en 1978 "por tener una clara influencia en las metodologías para la creación de software eficiente y confiable, y por haber contribuido a la fundación de las subáreas teoría del reconocimiento de frases, semántica de los lenguajes de programación, verificación automatizada de programas, síntesis automatizada de programas y análisis de algoritmos".

Floyd fallecio el 25 de septiembre de 2001.


Referencias:

Recuperado el 19 de Abril del 2019 de: http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_W._Floyd
Robert W. Floyd,[imágen] Recuperado el 19 de Abril del 2019 de: https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_W._Floyd#/media/File:Robert_W._Floyd.jpg

Delbert Ray Fulkerson

                                         


Nació el 14 de agosto de 1924. Fue un matemático estadounidense que se desarrolló como co-autor junto con Lester Randolph Ford, Jr.  Creando el Algoritmo de Ford-Fulkerson, uno de los algoritmos más utilizados para computar el flujo máximo en una red de flujo.

Fulkerson recibió su Ph.D. en la Universidad de Wisconsin-Madison en 1951. En 1956, su importante artículo científico fue publicado. Desde 1979, la Sociedad de Programación Matemática (MPS) y la American Mathematical Society (AMS) otorgan cada tres años el Premio Fulkerson, para aquellos matemáticos que hayan creado artículos importantes en el área de la matemática discreta.  Falleció el 10 de enero de 1976.

Referencias

FORD, L. R.,  . FULKERSON, D. R (1962). Flows in Networks. Princeton, NJ: Princeton University Press. Recuperado el 19 de Abril del 2019  de http://es.wikipedia.org/wiki/Delbert_Ray_Fulkerso

Delbert Ray Fulkerson [imagen], Recuperado el 19 de Abril del 2019 de https://angelberh7.files.wordpress.com/2014/10/5989a-fulkerson-portret.jpg?w=240

Lester Randolph Ford Jr.

                                                   

Nacido: 25 de de octubre de 1886 en Missouri, EE.UU.

Sr. Ford nació en el estado de Missouri, EE.UU., y la mayor parte de su educación fue adquirida en dicho Estado. En la escuela normal del estado de Missouri comenzó su supuesto triunfo de honores académicos por graduarse Pd.B., que traducido, significa Licenciado en Pedagogía. A partir de ese seminario, se pasa a la Universidad Estatal de Missouri, en la que se graduó en 1911 AB, y AM en 1912.Se le concedió una Maestría del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Missouri-Columbia en 1912 con una tesis sobre las funciones discontinuas Point-sabia .

A continuación, realizó una investigación en Harvard con Maxime Bôcher como su asesor, donde se graduó MA en 1913. Desde 1914 fue profesor en la Universidad de Edimburgo en Escocia, donde fue nombrado como Profesor Ayudante en Matemáticas después de la muerte de John Urquhart. Fue durante su periodo en Edimburgo que se unió a la Sociedad Matemática de Edimburgo , en diciembre de 1914. 

Ford leyó un documento a la Sociedad Matemática de Edimburgo En una clase de fracciones continuas en la segunda reunión de la sesión 1916-1917. Ford volvió a los Estados Unidos y terminó el trabajo de doctorado en la Universidad de Harvard. Se le concedió el doctorado en 1917 por su tesis en aproximaciones racionales a un número complejo irracional . Un papel importante basado en su tesis aproximaciones racionales a los números complejos irracionales se publicó en las Transacciones de la Sociedad Americana de Matemáticas en 1918. El documento, presentado en 1917, da la dirección de Ford como la Universidad de Edimburgo. En 1919 se publicó Primaria Matemáticas para la artillería de campo que fue preparado y publicado por la dirección del Jefe de la artillería de campo, artillería de campo Escuela Central de Formación de Oficiales, de Camp Zachary Taylor, Kentucky.

Después de sus contribuciones al esfuerzo de guerra, Ford se unió a la facultad en la Institución Rice, Houston, Texas, y mientras que él publicó documentos tales como en la cercanía de aproximación de las fracciones racionales complejas a un número complejo irracional (1925), la solución de ecuaciones por el método de aproximaciones sucesivas (1925), de las propuestas que satisfacen primera y segunda leyes de Kepler (1927/28), y los puntos límite de un grupo (1929). Se casó con Marguerite Eleanor John (nacido el 26 de enero 1890 a Robert A John y Margaret Morrow Houston) el 15 de junio 1924. sus hijos incluyen Lester Randolph Ford (nacido el 23 de septiembre de 1927 en Houston), Houston y Margaret Ford (nacido el 3 de septiembre de 1930). Lester Randolph Ford, Jr. se convirtió en un destacado matemático que trabajaba para la Corporación RAND.Dos libros importantes publicados por Ford son funciones automorfas (1929) y las ecuaciones diferenciales (1933, segunda edición 1955).

Además de su trabajo en funciones discontinuas de puntos en cuanto a lo que hemos mencionado anteriormente, Ford es el más conocido para una "interpretación geométrica absolutamente maravilloso de la serie Farey". Esta interpretación geométrica vino de su introducción de círculos de Ford. Se introdujo el concepto en un artículo de 1938 llamado "fracciones" [Ford, LR (1938) Las fracciones. La American Mathematical Monthly . Vol. 45, Nº 9, páginas 586-601].

A finales de la década de 1930 Ford se trasladó desde el Instituto Rice al Instituto de Tecnología de armadura en Chicago, Illinois, donde fue nombrado Profesor y Presidente del Departamento de Matemáticas. En 1940, el Instituto de Tecnología de armadura se fusionó con el Instituto de Lewis (que había sido fundada en 1896) para formar el Instituto de Tecnología de Illinois. Se había ganado una reputación como un excelente expositor y escribió artículos pendientes, así como contribuyen a muchos problemas y soluciones matemáticas.

Murió: 11 de noviembre de 1967 en Charlottesville, Virginia, EE.UU.

Referencias

JOC/EFR, [2007],Lester Randolph Ford Jr, School of mathematics and statics, University of St Andrews, Scotland. Recuperado el 19 de Abril del 2019 de http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ford.html

Lester Randolph Ford Jr. [fotografía]. Recuperada el 19 de Abril del 2019 de https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/d/dc/Lester_R._Ford.gif

Edsger Wybe Dijkstra

                                    

Dijkstra nació el 11 de mayo de 1930 en Rotterdam, Holanda, hijo de un químico y una matemática.

Estudio física y matemáticas en la Universidad de Leyden  terminando en 1951. Más tarde, un doctorado en física teórica en la misma universidad en 1956, seguido de un Ph.D. en 1959 en la Universidad de Amsterdam.

En 1952 comenzó a trabajar en el Centro Matemático de Amsterdam donde aprendió a programar, siendo el primer programador en Holanda. En 1962 pasó a ser profesor en la Universidad Tecnológica de Eindhoven hasta 1984. En paralelo, desde 1973 a 1984 fue investigador para Burroughs. Finalmente, en 1984 aceptó la cátedra Schlumberger en la Universidad de Texas at Austin, hasta que jubiló en 1999.

Finalmente, en el año 2002, enfermo de cáncer, murió en Nuenen, Holanda.

Contribuciones

• Algoritmo para encontrar el camino más corto en un grafo: este fue el primer problema de grafos que resolvió Dijkstra en 1956 y publicado en 1959 por que en esa época un algoritmo era difícilmente considerado un logro científico. Hoy en día, este algoritmo ha sido usado como la base para protocolos de enrutamiento en Internet, sistemas de posicionamiento global o simplemente para itinerarios de viaje.

• El concepto de abrazo mortal (deadlock) y su solución a través de semáforos y regiones de código con acceso exclusivo. Dijkstra describió el problema con la cena de los famosos cinco filósofos que sólo tenían cinco palillos para comer arroz (ver figura). Si ellos no se ponían de acuerdo y tomaban un palillo cada uno, creaban un deadlock y morían de hambre pues se necesitaban dos palillos para comer. Esta es la base de la programación concurrente y una parte fundamental de cualquier sistema operativo.

• Su aporte a la programación estructurada. Dijkstra participó en el comité que diseño Algol 60, el primer lenguaje de programación estructurado, y lo promovió intensamente fomentando la verificación formal de programas y la eliminación del goto. En este tema fue autor y coautor de varios libros, además de su artículo corto  "Go To statement considered harmful" (La instrucción go to es considerada dañina) publicado en Communications of ACM en 1968, que es legendario.

Referencias

Edsger Wybe Dijkstra [en línea] Recuperado el 19 de Abril del 2019 de https://users.dcc.uchile.cl/~rbaeza/inf/dijkstra.html

[imágen Edsger W. Dijkstra 1994] Recuperado el 19 de Abril del 2019 de: https://psychokillerclau.files.wordpress.com/2014/09/0.jpg?w=665