Distribución beta

La distribución beta se utiliza para variables aleatorias entre 0 y 1.

La distribución beta suele utilizarse para modelar la distribución de estadísticos de orden (por ejemplo, el estadístico de orden késimo de una muestra de variables n uniformes (0, 1) tiene una distribución beta (k, n + 1 – k)) y para modelar eventos que se definen por valos mínimos y máximos. La escala de la distribución beta suele modificarse para modelar el tiempo hasta la culminación de una tarea. La distribución beta también se usa en estadísticas bayesianas, por ejemplo, como la distribución de valores previos de una probabilidad binomial.

DISTRIBUCIÓN BETA GENERALIZADA

La distribución beta generalizada nació de manera natural para dar mayor flexibilidad al soporte acotado, donde su función de densidad es definida como:




Donde, del mismo modo que en el modelo estándar, los parámetros u y v son positivos. La distribución Beta estándar es ahora una situación particular de la distribución Beta Generalizada, cuando (a,b)=(0,1).

Si X es una variable aleatoria con distribución Beta Generalizada, entonces la notación será: X~BG(ab)(u,v) o equivalentemente X~BG(u,v,a,b)

CARACTERÍSTICAS DEL MODELO

Para facilitar la operabilidad del modelo, consideraremos que el parámetro b será escrito por b=a+h, de ese modo la densidad queda representada por:




Los elementos siguientes son los que generalmente son presentados para el análisis y comparar evasiones.

Esperanza




Segundo Momento




Varianza




En el proceso de estimación presentaremos dos de los más relevantes; el primero es el de máxima verosimilitud y el segundo es el de momentos.

En este proceso asumiremos que el parámetro h o amplitud del intervalo de los posibles valores de X es conocido.

Para el caso del estimador de máxima verosimilitud, basta resolver el sistema siguiente:




Las estimativas por medio del método de momentos, que representaremos por y respectivamente son:




FUNCIÓN DE SOBREVIVENCIA PARA UNA VARIABLE ALEATORIA BETA GENERALIZADA

La función de sobrevivencia es una de las principales funciones probabilísticas usadas para describir estudios de sobrevivencia (ver Lee 2003). La función de sobrevivencia es definida como la probabilidad de que una observación no falle hasta un cierto tiempo t, es decir, la probabilidad de que una observación sobreviva hasta el tiempo t. En términos probabilísticos, esto es escrito como S(t) = P(T > t). Por tanto, basado en esta definición, la función de sobrevivencia puede ser determinada por

S(t) = 1 - P(T < t) = 1 - F(t), donde F(t) representa la función de distribución de probabilidades de la variable aleatoria T.

En el Gráfico de la Figura 2, es posible observar la flexibilidad de la función de sobrevivencia de la variable aleatoria beta generalizada, con crecimientos fuertes en el inicio del proceso, para posteriormente estabilizarse casi en un decaimiento lineal, como es posible observar en la curva de color amarillo. De forma similar, podemos obtener funciones de sobrevivencia en la cual el decrecimiento de la curva sea significativo después del 50% de las fallas o muertes, como se muestra en la curva de color negro, y las curvas restantes son una muestra de la flexibilidad y la amplia gama de situaciones con soporte acotado posibles de modelar.

                            
Figura 2. En el gráfico consideramos los valores 2, 2, 1, 5 y 0.5 para los parámetros α, 2, 5, 3, 1 y 1 para el parámetro βrepresentados de color verde, rojo, azul, preto y amarillo respectivamente y h=3


FUNCIÓN DE RIESGO PARA UNA VARIABLE ALEATORIA BETA GENERALIZADA

La función de Riesgo también es conocida como función de tasa de falla. Para su definición vamos asumir que la probabilidad de que la falla ocurra en el intervalo [t1,t2[ puede ser expresada en términos de la función de sobrevivencia como: S(t1)-S(t2) (ver Lee 2003). La tasa de falla en el intervalo [t1,t2[ es definida como la probabilidad de que la falla ocurra en este intervalo, dado que no ocurrió antes de t1, dividido por la amplitud del intervalo. Así, la tasa de falla en el intervalo [t1,t2[ es expresada por : ((S(t1)-S(t2))/((t2-t1) S(t1))). De forma general la función de riesgo, λ(t), es definida como: λ(t)=(f(t))/(S(t)).

En el gráfico de la siguiente figura, es posible observar la flexibilidad de la función de riesgo de una variable aleatoria Beta Generalizada, con incrementos en diferentes velocidades. Una situación muy importante de destacar es la modelación de un riesgo que en el tiempo cero tiene un riesgo diferente de cero.

                             
En el Gráfico consideraremos los valores 2, 2 y 1 para el parámetro α, 2, 5 y 4 para el parámetro β representados de color verde, amarillo y azul respectivamente y h=3


GRÁFICAS

La distribución beta es una distribución continua definida por dos parámetros de forma. La distribución puede adoptar diferentes formas dependiendo de los valores de los dos parámetros.

Ambas formas son iguales a 1
Cuando ambas formas son iguales a 1, la distribución beta es la distribución uniforme.


Ambas formas son menores que 1
Cuando ambas formas son menores que 1, la distribución tiene forma de U.


Ambas formas son iguales y son mayores que 1
Cuando ambas formas son iguales y mayores que 1, la distribución es simétrica.


La primera forma es mayor que la segunda forma
Cuando la primera forma es mayor que la segunda forma, la distribución es asimétrica hacia la izquierda
.


La primera forma es menor que la segunda forma
Cuando la primera forma es menor que la segunda forma, la distribución es asimétrica hacia la derecha
.

José González C., Diana Galvis S. y Luis Hurtado T.,La distribución Beta Generalizada como un modelo de sobrevivencia para analizar la evasión universitaria., 2014, Chile,Recuperado el 20 de Abril del 2019 de: https://scielo.conicyt.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07052014000100008

Minitab 18. (2019). Distribución beta. 2017, de minitab Sitio web, Recuperado el 20 de Abril del 2019 de: https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/beta-distribution/

[Imagen Gráficas] recuperada el 20 de Abril del 2019 de: Minitab 18. Distribución beta , de minitab Sitio web: https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/distributions/beta-distribution/